Punkt- und Intervallschätzungen
Contents
Punkt- und Intervallschätzungen¶
Erklären Sie was man unter Punktschätzung beziehungsweise Intervallschätzung versteht.
Wie viel größer muß die Stichprobe bei einer Intervallschätzung sein um die Länge der Konfidenzintervalle zu halbieren?
Lösung¶
Punktschätzung
Mit Schätzverfahren zur Punktschätzung wird versucht aus Stichproben möglichst genaue Näherungswerte für Grundgesamtheitsparameter zu finden. Man unterscheidet unspezifische Parameter, wie z.B. Lage- bzw. Streuungsparameter, Median, Quantille und Korrelation, und spezifische Parameter eines Verteilungsmodells, wie beispielsweise \(\mu\) und \(\sigma\) der Normalverteilung \(N(\mu,\sigma)\) oder den Parameter \(\lambda\) der Poissonverteilung \(P(\lambda)\).
([Fahrmeir et al., 2016] s.338)
Intervallschätzung
Die Intervallschätzung gibt die Präzision des Schätzverfahrens für die entprechende Punktschätzung an. Es wird eine obere und untere Grenze um die Punktschätzung konstruiert in dem mit der Wahrscheinlichkeit \(1-\alpha\) der Wert der Grundgesamtheit enthalten ist. \(\alpha\) entspricht der Irrtumswahrscheinlichkeit und wird als Signifikanzniveau bezeichnet während \(1-\alpha\) die Überdeckungswahrscheinlichkeit ist.
([Fahrmeir et al., 2016] s.356)
Die Breite des Konfidenzintervalls ist gegeben durch \(CI: \text{Punktschätzung} \pm \text{kritischer Punkt} \times \frac{s}{\sqrt{n}}\). Der Stichprobenumfang geht also als Faktor \(\frac{1}{\sqrt{n}}\) in die Gleichung ein. Um die Breite zu halbieren (bei ungefähr gleicher Stichprobenstandardabweichung) muß \(n\) also vervierfacht werden. \(\frac{1}{\sqrt{4n}} = \frac{1}{2\sqrt{n}}\)