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Hypothesentest - unabhängige Stichproben, \sigma_1 \approx \sigma_2

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Hypothesentest - unabhängige Stichproben, \(\sigma_1 \approx \sigma_2\)

Bei \(2\) Stichproben aus \(2\) Grundgesamtheiten erhalten Sie folgende Mittelwerte und Standardabweichungen: \(\mu_1=61\), \(\sigma_1=15,5\), \(n_1=15\), \(\mu_2=48,4\) \(\sigma_2=18,1\), \(n_2 =12\) . Welchen Hypothesentest müssen Sie anwenden um zu prüfen ob \(\mu_1 \gt \mu_2\) gilt?

  1. Formulieren Sie die geeignete Null- und Alternativhypothese.

  2. Berechnen Sie die Teststatistik.

  3. Berechnen Sie den kritischen Wert (entweder mit Python oder Wahrscheinlichkeitstabelle) bei einem Signifikanzniveau \(\alpha = 0,01\). Wird \(H_0\) abgelehnt? Hierbei ergint sich der kritische Wert bei \(\alpha = 0,01\) für einen rechtseitigen Test \(\mu_1 \gt \mu_2\) mit der \(t\)-Verteilung (\(1- \alpha, t_{df}\)).

  4. Interpretieren Sie das Ergebnis

Die gewichtete Standardabweichung ergibt sich zu:

\[s_g = \sqrt{\frac{(n_1-1)s_1^2 + (n_2-1)s_2^2 }{n_1+n_2-2}}\text{,}\]

Die Teststatistik ist \(t\)-verteilt und ergibt sich für \((\mu_1-\mu_2)=0\) zu:

\[t = \frac{(\bar x_1 - \bar x_2)}{s_g \sqrt{\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}}}\]
# Frage 3 ...

# Frage 4 ...

Lösung

\[H_0 : \mu_1 = \mu_2\]
\[H_A : \mu_1 \gt \mu_2\]
import numpy as np

n_1 = 15
n_2 = 12
mu_1 = 61
mu_2 = 48.4
s_1 = 15.5
s_2 = 18.1

s_g = np.sqrt(((n_1 - 1) * s_1**2 + (n_2 - 1) * s_2**2) / (n_1 + n_2 - 2))
t_stat = (mu_1 - mu_2) / (s_g * np.sqrt(1 / n_1 + 1 / n_2))
t_stat

1.9487919163239615

from scipy.stats import t

alpha = 0.01
df = 25
critical = t.ppf(1 - alpha, df=df)
print(f"Kritischer Wert: {critical}")
t_stat >= critical

Kritischer Wert: 2.4851071754106413

False

Die Teststatistik liegt nicht im Ablehnungsbereich daher ist für \(\alpha = 0,01\) keine signifikante Abweichung der Mittelwerte feststellbar. Die Nullhypothese wird daher beibehalten.

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