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Häufigkeiten und Erwartungswert

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Häufigkeiten und Erwartungswert

Betrachten wir den Würfelwurf für einen fairen sechseitigen Würfel. Bei \(10\) Würfen werden die folgenden Zahlen gewürfelt: \(1,1,2,5,6,3,4,2,4,5\)

  1. Erklären Sie anhand dieser Stichprobe relative und absolute Häufigkeiten.

  2. Berechnen Sie den Erwartungswert der Stichprobe.

  3. Berechnen Sie den Erwartungswert für einen Würfel unter der Annahme von Laplacewahrscheinlichkeit (gleicher Wahrscheinlichkeit für alle \(x_i\) von \(X\))

# Frage 1 ...

# Frage 2 ...

# Frage 3 ...

Lösungen

Absolute Häufigkeiten \(h(a_j)=h_j\) entsprechen der Anzahl der Ereignisse/Elemente/Messergebnisse \(x_i\) für die gilt \(x_i = a_j\) Relative Häufigkeiten entsprechen den absoluten Häufigkeiten geteilt durch die Gesamtanzahl \(n\) betrachteten Ereignisse/Elemente/Messergebnisse \(f(a_j)=f_j=\frac{h_j}{n}\) ([Fahrmeir et al., 2016] s.30)

Angewandt auf die Stichprobe ergeben sich die absoluten und relativen Häufigkeiten wie folgt:

\(X\)

Absolute Häufigkeit

Relative Häufigkeit

1

2

0,2

2

2

0,2

3

1

0,1

4

2

0,2

5

2

0,2

6

1

0,1
\[E(X) = \sum_{i=1}^6 P(x_i) x_i = 1 \cdot 0,2 + 2 \cdot 0,2 + 3 \cdot 0,1 + 4 \cdot 0,2 + 5 \cdot 0,2 + 6 \cdot 0,1 = 3,3\]

Da von Laplacewahrscheinlichkeit ausgegangen werden kann gilt: \(P(x_i)= \frac{1}{6} \approx 0,167\)

\[E(X) = \sum_{i=1}^6 P(x_i) x_i = 1 \cdot 0,167 + 2 \cdot 0,167 + 3 \cdot 0,167 + 4 \cdot 0,167 + 5 \cdot 0,167 + 6 \cdot 0,167 = 3,5\]

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