Logistische Funktion
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Logistische Funktion¶
Zeigen Sie dass die logistische Funktion \(logit^{-1}(\eta) = \frac{e^{\eta}}{1+e^{\eta}}\) die inverse Funktion zur \(logit\)-Funktion \(\eta = logit(\pi) = log \left( \frac{\pi}{1-\pi}\right)\) ist.
Lösungen¶
logistische Funktion umwandeln
\[\frac{e^{\eta}}{1+e^{\eta}} = \frac{e^{\eta}}{e^{\eta}}\frac{1}{e^{-\eta}+1} = \frac{1}{e^{-\eta}+1}\]
Logit Funktion in logistische Funktion einsetzen
\[logit^{-1}(logit(\pi)) = logit^{-1}(log \left( \frac{\pi}{1-\pi}\right))) = \]
\[ = \frac{1}{1+e^{-log \left( \frac{\pi}{1-\pi}\right)}} = \frac{1}{1+\frac{1}{\left( \frac{\pi}{1-\pi}\right)}} =\]
\[ = \frac{1}{1+\frac{1 - \pi}{\pi}} = \frac{1}{\frac{\pi + 1 - \pi}{\pi}} = \pi\]