Binomialverteilung
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Binomialverteilung¶
In einer Fabrik werden serienmäßig Tübel mit einem Ausschussanteil von \(4,5\%\) hergestellt, d. h. unter \(1000\) hergestellten Tübel befinden sich im Mittel genau \(45\) unbrauchbare Tübel.
Mit welchen Wahrscheinlichkeiten finden wir in einer Zufallsstichprobe von \(10\) Tübel genau \(0, 1, 3, 5, 8\) unbrauchbare Tübel?
Mit welchen Wahrscheinlichkeiten finden wir in einer Zufallsstichprobe von \(10\) Tübel \(3\) oder mehr unbrauchbare Tübel?
# Frage 1 ...
# Frage 2 ...
Lösungen¶
Es handelt sich hier um ein Bernoulli-Experiment. Die Wahrscheinlichkeit, beim Ziehen eines Tübels einen unbrauchbaren Tübels zu erhalten, liegt bei \(p=0,04\). Die Zufallsvariable folgt der Binomialverteilung mit den Parametern \(n=10\) und \(p=0,4\).
Somit ergbit sich
\[P(X=x)= \binom{10}{x} \times 0,04^x \times (1-0,04)^{(10-x)} \qquad (x=0,1,3,5,8)\]
from scipy.stats import binom
for x in [0,1,3,5,8]:
rv = binom.pmf(k=x, n=10, p=0.04)
print(f"For x={x} the probabilty is {rv}")
For x=0 the probabilty is 0.6648326359915008
For x=1 the probabilty is 0.277013598329792
For x=3 the probabilty is 0.00577111663187067
For x=5 the probabilty is 2.104052938702848e-05
For x=8 the probabilty is 2.7179089920000016e-10
\[P(X \geq3) = 1 - P(X =0) - P(X =1) - P(X =2)\]
from scipy.stats import binom
# version 1
rv = 0
for x in [0,1,2]:
rv += binom.pmf(k=x, n=10, p=0.04)
print(f"[version 1] The probabilty is is {1 - rv}")
# version 2
rv = 1 - binom.cdf(k=2, n=10, p=0.04)
print(f"[version 2] The probabilty is is {rv}")
[version 1] The probabilty is is 0.00621371599187126
[version 2] The probabilty is is 0.006213715991870816