Odds und Log-Odds¶

Zeigen Sie, dass wenn die Odds und das einfache (binomiale) logistische Regressionsmodell ($\pi$) gegeben sind durch:

\[\text{Odds} = \frac{\pi}{1-\pi}\]

\[\pi = \frac{1}{1+e^{-\eta}} = \frac{1}{1+e^{-(\beta_0+ \beta_1x_1)}}\]

die Log-Odds gleich

$$\text{Log-Odds} =\log \biggl( \frac{\pi}{1-\pi} \biggr)= \beta_0+ \beta_1x_1$$ sind.

Lösungen¶

Wir setzen das logische Regressionsmodell in die Odds ein:

\[ \frac{\pi}{1-\pi} = \frac{(1+e^{-(\beta_0 + \beta_1 x_1)})^{-1}}{1-(1+e^{-(\beta_0 + \beta_1 x_1)})^{-1}} = \]

\[= \frac{1}{1+e^{-(\beta_0 + \beta_1 x_1)}-1} = e^{(\beta_0 + \beta_1 x_1)}\]

\[\log \left( \frac{\pi}{1-\pi}\right) = \log (e^{(\beta_0 + \beta_1 x_1)}) = \beta_0 + \beta_1 x_1 \]